割点和桥 学习笔记

发表于
Tarjan 好闪，拜谢 Tarjan！

写在前面

以下内容均适用于无向图。

基本概念

割点：删去后原图不连通的点。

桥：删去后原图不连通的边。

点双连通图：删去任意一点仍连通的图。

边双连通图：删去任意一边仍连通的图。

双连通分量：图的极大双连通子图。

求割点与桥：Tarjan算法

割点判定法则

一个顶点是割点的充要条件为以下两个之一：

  • 该点是树根，且该点有多于一个子树。

  • 该点 $u$ 不是树根，且满足存在一个儿子 $v$ 使得 $DFN(u) \le Low(v)$。

代码实现

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void dfs(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++tim;
	fl[u]=1;
	int sz=0;
	for(int i=lst[u];i;i=e[i].lst){
		int v=e[i].t;
		if(!fl[v]){
			dfs(v,u);
			sz++;
			if(u==root&&sz>1)cut[u]=1;
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(u!=root&&dfn[u]<=low[v])cut[u]=1;
		}
		else{
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);//无向图，不用栈
		}
	}
	if(cut[u])tot++;
}
void tarj(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!fl[i])root=i,dfs(i,0);
	}
}

桥判定法则

一条边是桥的充要条件是：

  • 搜索树上存在 $u$ 的一个儿子 $v$ 满足 $DFN(u) < Low(v)$。

代码实现

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void dfs(int u,int pre){
	dfn[u]=low[u]=++tim;
	fl[u]=1;
	for(int i=lst[u];i;i=e[i].lst){
		int v=e[i].t;
		if(!fl[v]){
			dfs(v,i);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(dfn[u]<low[v]){
				e[i].bridge=e[i^1].bridge=1;
				tot++;
				fe[tot]=e[i];
				if(fe[tot].f>fe[tot].t)swap(fe[tot].f,fe[tot].t);
			}
		}
		else if(i!=(pre^1)){//对重边进行特判
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
}
void tarj(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!fl[i])dfs(i,0);
	}
}

求双连通分量

边双连通分量的求法

求出所有桥后，把桥边删除，原图变成多个连通块，每个连通块都是一个边双连通分量。具体实现可以DFS一遍，遇到桥就跳过。

代码实现

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vector<int> ans;
void dfs2(int u){
	fl[u]=1;
	ans.push_back(u);
	for(int i=lst[u];i;i=e[i].lst){
		int v=e[i].t;
		if(fl[v]||e[i].brg)continue;
		dfs2(v);
	}
}

点双连通分量的求法

效仿强连通分量，维护一个栈。第一次访问节点时入栈。当割点判定法则中 $DFN(u) \le Low(v)$ 成立时，无论该点是否为根，都要从栈顶不断弹出节点直至 $v$ 出栈，此时弹出的所有结点与 $u$ 一起构成一个点双连通分量。注意：孤立点也属于点双连通分量！要特判！

代码实现

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void dfs(int u){
	fl[u]=1;
	dfn[u]=low[u]=++tim;
	stk[++top]=u;
	int sz=0;
	for(int i=lst[u];i;i=e[i].lst){
		int v=e[i].t;
		if(!fl[v]){
			dfs(v);
			sz++;
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(u==rt&&sz>1)ct[u]=1;
			if(u!=rt&&dfn[u]<=low[v])ct[u]=1;
			if(dfn[u]<=low[v]){
				hd[v]=1;
				while(stk[top]!=v){
					ans[v].push_back(stk[top]);
					vis[stk[top]]=1;
					top--;
				}
				ans[v].push_back(v);
				ans[v].push_back(u);
				vis[u]=vis[v]=1;
				top--;
			}
		}
		else{
			low[u]=min(dfn[v],low[u]);
		}
	}
}
void tarjan(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!fl[i])rt=i,dfs(i);
	}
}